Teorema T1 a valores vectoriales con medidas no necesariamente doblantes. Aplicaciones

Abstract

This Thesis includes the study of singular integral operators in the context of non-necessarily doubling measures and functions valued on a Hilbert space. In the first part of the Thesis a "T1 equals 0" type Theorem is proven, in the context of spaces of homogeneous type and for funcions valued on a Hilbert space. This result is applied to the square function operator associated to an identity aproximation on a space of homogeneous tuye. In the second part of the Thesis, singular integral operators associated to kernels satisfying size and smoothness integral conditions are studied, in the context of non-necessarily doubling measures in the n-dimensional euclidean space, for functions valued on a Hilbert space. Formulas and Lipschitz bounds are obtained for those operatores, generalizing the results obtained by Macías, Segovia y Torrea in the case of doubling measures. Also, under the "T1 equals 0" hypothesis, it is obtained that these operators have bounded extensions on spaces of square summable functions. Finally these results are applied to the study of oscillation operators associated to classical operators of the harmonic analysis.

Esta Tesis abarca el estudio de operadores de integral singular en el contexto de medidas no necesariamente doblantes y funciones con valores en un espacio de Hilbert. En la primer parte de la Tesis se prueba un Teorema del tipo "T1 igual a 0", en el contexto de espacios de tipo homogéneo y para funciones valuadas en un espacio de Hilbert. Se aplica este resultado al operador función cuadrática asociado a una aproximación a la identidad en un espacio de tipo homogéneo. En la segunda parte de la Tesis se estudian operadores de integral singular asociados a núcleos que satisfacen condiciones de acotación y suavidad integral, en el contexto de medidas no necesariamente doblantes, en el espacio euclídeo n-dimensional, para funciones valuadas en un espacio de Hilbert. Se obtienen fórmulas y acotaciones Lipschitz para dichos operadores, que generalizan los resultados obtenidos por Macías, Segovia y Torrea en el caso de medidas doblantes. Además, bajo la hipótesis "T1 igual a 0", se obtiene que estos operadores tienen extensiones acotadas en los espacios de cuadrado integrable. Finalmente se aplican estos resultados a operadores de oscilación asociados a operadores clásicos del análisis armónico.