Estimación a posteriori para un problema parabólico con coeficiente de difusión discontinuo: simulación adaptativa de liberación de droga en dispositivos poliméricos

Abstract

In the agricultural industry, diffusional drug-release devices are being used as a means for controlling insects in cattle. The overall goal of this project is the design of optimal shape devices that will be able to release an almost constant amount of drug per unit of time. A first step is the development of models for simulating such processes and the design of efficient numerical solvers. We propose as a model a diffusion equation which takes as domain the union of two parts, one corresponding to the device and the other to the external world. That is a parabolic equation with discontinuous diffusion coefficient which takes a different value in the device and in the environment. Moreover, these coefficients are in general of very different orders of magnitude, which causes a loss of regularity in the solution and creates difficulties for numerically solving the equations. Therefore, we propose a adaptive finite element method in which we use a posteriori estimates robust error whose bounds of the error do not present the ratio between the maximum and minimum diffusion coefficient, which decreases the computational cost for a given tolerance. With this method we develop an efficient computational tool to simulate, given a specific form, the diffusion on a device and in the surrounding environment simultaneously. Finally the method is used to study the effect of the shape of the device on the release profile, allowing us to draw preliminary conclusions.

Existen dispositivos de liberación de drogas por difusión, que son utilizados como un medio para el control de insectos en el ganado. El objetivo que motiva este trabajo es el diseño de la forma óptima de un dispositivo capaz de liberar una cantidad casi constante de droga por unidad de tiempo. Comenzamos desarrollando un modelo que simule tal proceso y un método numérico eficiente. Proponemos como modelo, una ecuación de difusión que toma como dominio la unión de dos partes, una correspondiente al dispositivo y otra al medio exterior. Esto es, una ecuación parabólica con coeficiente de difusión discontinuo que toma en el dispositivo un valor distinto que en el medio que lo rodea. Esos coeficientes son en general de muy diferentes órdenes de magnitud, lo que causa una pérdida de regularidad en la solución y crea dificultades para resolver las ecuaciones numéricamente. Por ello, proponemos un método de elementos finitos adaptativo, en el que utilizamos estimadores a posteriori del error robustos cuyas cotas del error no presentan el cociente entre los valores máximo y mínimo del coeficiente de difusión, lo que disminuye el costo computacional para una tolerancia dada. Con este método desarrollamos una herramienta de cálculo eficiente para simular, dada una forma específica, la difusión en un dispositivo y en el medio circundante simultáneamente. Finalmente, hacemos un estudio experimental del efecto de la forma en el perfil de liberación, lo que nos permite obtener conclusiones preliminares.