Regularización de Tipo Tikhonov-Phillips con Penalizantes Generales para Problemas Inversos mal Condicionados

Abstract

En esta tesis se aborda el estudio de los métodos de regularización de “tipo” Tikhonov-Phillips con penalizantes generales para problemas inversos mal condicionados desde un punto de vista general. En este contexto y en el marco de las escalas de Hilbert se extiende un resultado de convergencia de F. Natterer y se establecen relaciones entre diferentes “conjuntos fuente”. Por otra parte se presentan resultados de existencia, unicidad y estabilidad de minimizantes de un funcional de tipo Tikhonov-Phillips con penalizante general. Asimismo se particularizan tales resultados al caso en que dicho penalizante está dado en términos de seminormas inducidas por operadores diferenciales. Además, se aborda el estudio de la convergencia de las soluciones regularizadas obtenidas con estos métodos. En particular se obtienen dos resultados sobre convergencia radial y convergencia diferenciable. Por otro lado en este trabajo de tesis se introduce un novedoso andamiaje matemático llamado “escalas de Hilbert múltiples” y se obtienen resultados de convergencia caracterizando los órdenes respectivos en términos de los operadores diferenciales involucrados y del parámetro vectorial en la escala de Hilbert múltiple asociado a la solución exacta. Por otro lado, se presenta el enfoque estadístico para la resolución de problemas inversos mal condicionados y se muestra una estrecha relación existente entre las teorías estocástica y determinística. Finalmente se presentan varias aplicaciones a problemas inversos en restauración de imágenes y procesamiento de señales. Resultados numéricos obtenidos para estos ejemplos permiten un mejor entendimiento y visualización de los resultados teóricos obtenidos.

This thesis deals with the study of regularization methods of Tikhonov-Phillips type with general penalizing terms for inverse ill-posed problems, from a general the point of view. In this context and within the framework of Hilbert scales, a convergence result due to F. Natterer is extended and several relationships among different source sets are established. Several results on existence, uniqueness and stability of minimizers of a Tikhonov-Phillips type functional with general penalizing term are presented. These results are particularized to the case in which such penalizing tem is given in terms of seminorms associated to differential operators. Also, the study of convergence of the regularized solutions obtained with these methods is tackled. Two results about radial and differential convergence are obtained. On the other hand a novel framework called "multiple Hilbert scales" is introduced on which several convergence results are obtained and the convergence orders characterized in terms the differential operators involved and the "multiple Hilbert scale" vector parameter associated to the exact solution. Also, the statistical approach for the treatment of inverse ill-posed problems is presented and a closed relationship between both stochastic and deterministic approaches is shown. Finally, several applications to image restauration and signal processing are presented. Numerical results obtained for these examples allow a better understanding and visualization of the theoretical results obtained.