Convergencia y optimalidad de métodos de elementos finitos adaptativos para leyes de conservación estacionarias no lineales y para problemas elípticos de autovalores

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es estudiar la convergencia y la optimalidad de los métodos de elementos finitos adaptativos para la resolución numérica de problemas no lineales que surgen de leyes de conservación estacionarias y de problemas de autovalores asociados a operadores simétricos y elípticos. Se establecen resultados de convergencia sin orden de algoritmos adaptativos generales, que parten de triangulaciones iniciales conformes arbitrarias, y marcan los elementos a refinar solamente en base a estimadores de error a posteriori de tipo residual clásicos, usando cualquiera de las estrategias de marcado conocidas, y pidiendo sólo un nivel de refinamiento minimal sobre estos elementos marcados. Cabe mencionar que la convergencia para problemas de autovalores se cumple tanto para autovalores simples como múltiples. Se demuestra la optimalidad suponiendo la estrategia de Dörfler para el marcado, esto es, demostramos que el algoritmo adaptativo produce una sucesión de mallas y soluciones aproximadas con la misma complejidad (cantidad de elementos) que las óptimas. El sentido que damos a la palabra optimalidad está basado en el número de grados de libertad o incógnitas necesarios para representar con un cierto error la solución exacta del problema, y no en el tamaño global usual de la malla. En el caso de problemas de autovalores, la optimalidad se demuestra solamente para autovalores simples.

In this thesis we study convergence and optimality of adaptive finite element methods for nonlinear problems which arise from stationary conservation laws and symmetric elliptic eigenvalue problems. Plain convergence results for general adaptive algorithms are established, starting from any arbitrary initial conforming triangulation. The marking is only based on classical residual type a posteriori error estimators by using any of the known marking strategies, and only a minimal refinement assumption for marked elements is required. On the other hand, it is important to remark that the convergence for eigenvalue problems holds for simple as well as multiple eigenvalues. Optimality is proved assuming the Dörfler's marking strategy, that is, we show that the adaptive algorithm generates a sequence of meshes and discrete solutions having the same complexity (degrees of freedom) as the optimal ones. Here, optimality is understood in terms of the necessary number of degrees of freedom or unknowns to represent the exact solution of the problem with a given error, and not in terms of the usual global mesh size. For eigenvalue problems, the optimality is proved only for simple eigenvalues.