Estudio del comportamiento asintótico de torres de cuerpos de funciones

Abstract

En esta Tesis obtenemos resultados estructurales generales sobre el comportamiento asintótico de sucesiones de cuerpos de funciones sobre cuerpos perfectos en general y de torres de cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos en particular.

Abordamos el problema de ver bajo qué condiciones, las ecuaciones que generan recursivamente una sucesión definen una torre. Damos condiciones suficientes para garantizar estimaciones no triviales del número de lugares racionales que hay en cada paso de una sucesión. Damos ejemplos concretos mostrando que varios ejemplos conocidos son casos particulares de nuestros resultados generales.

Estudiamos condiciones para determinar la finitud del espacio de ramificación en cierta clase de torres de tipo Kummer. La determinación del género es esencial para la obtención de estimaciones no triviales de la función de Ihara. Como aplicación de los resultados generales obtenidos, damos una demostración alternativa de la no trivialidad de la función de Ihara para para ciertas potencias de números primos. También mostramos nuevos ejemplos de torres con espacios de ramificación finita que dan origen a torres asintóticamente buenas.

Finalmente, damos condiciones generales para determinar si una sucesión de cuerpos de funciones tiene género infinito. Damos varios ejemplos nuevos de torres asintóticamente malas y mostramos que muchos de los criterios conocidos para determinar si una torre es asintóticamente mala se obtienen como casos particulares de nuestros resultados. Damos una nueva demostración de un resultado debido a Garcia, Stichtenoth y Rück que establece que sucesiones de Galois de tipo II con espacio de ramificación es infinito, tienen género infinito.

In this Thesis we obtain general structural results on the asymptotic behavior of sequences of function fields over perfect fields.

We address the problem of seeing under what kind of conditions the equations that generate recursively a sequence define a tower. We give sufficient conditions to guarantee nontrivial lower bounds for the number of rational places in every step of a sequence. We give concrete examples showing that several known examples are particular cases of our general results.

We give conditions to determine the finiteness of the ramification locus in some kind of Kummer type towers. The determination of the genus is essential to obtain nontrivial lower bounds for Ihara’s function. As an application of these general results, we give an alternative proof of the non-triviality of Ihara’s function for certain powers of prime numbers. We also show new examples of towers with finite ramification locus that give rise to asymptotically good towers.

Finally, we give conditions to determinate when a sequence of function fields has infinite genus. We give several new examples of asymptotically bad towers and show that many of the known criteria for determining when a tower is asymptotically bad are obtained as special cases of our results. We give a new proof of a result due to Garcia, Stichtenoth and Rück which states that sequences of Galois of type II with infinite ramification locus, has infinite genus.