Regularización wavelet-espectral y wavelet-vaguelet de problemas inversos mal condicionados

Abstract

En esta tesis se aborda el estudio de dos métodos de regularización para problemas inversos mal condicionados que utilizan descomposición wavelet. Esta tesis consta de cinco capítulos. El primer capítulo contiene conceptos preliminares y varias herramientas que son fundamentales para el estudio de problemas inversos mal condicionados. En el Capítulo 2 presentamos una introducción al mundo de los problemas inversos mal condicionados y a los métodos de regularización. En el Capítulo 3 se presenta el primer método de regularización (regularización wavelet-espectral) que utiliza descomposición wavelet seguida de un proceso de umbralado (wavelet thresholding), para reducir la influencia de las componentes de alta frecuencia presentes en los datos, provenientes del ruido, previo a la aplicación de un método de regularización espectral. En el capítulo siguiente presentamos el segundo método (regularización wavelet-vaguelet), el cual utiliza también descomposición wavelet, pero ahora incorporando simultáneamente una representación del operador asociado al problema, basada en su descomposición en valores singulares, SVD. En el último capítulo, se presentan varias aplicaciones a problemas inversos mal condicionados en restauración de señales e imágenes, cuyas implementaciones numéricas permiten una mejor visualización de los resultados teóricos obtenidos en esta tesis, y muestran claramente la potencialidad de los métodos desarrollados.

This thesis deals with the study of two regularization methods for inverse ill-posed problems that use wavelet decomposition. This thesis consists of five chapters. The first chapter contains preliminary concepts and several tools that are fundamental for the study of inverse ill-posed problems. In Chapter 2, we present an introduction to the world of inverse ill-posed problems and regularization methods. Chapter 3 presents the first method of regularization (wavelet-spectral regularization) that uses wavelet decomposition followed by a wavelet thresholding process, to reduce the influence of the high frequency components present in the data, coming from noise , prior to the application of a spectral regularization method. In the next chapter we present the second method (wavelet-vaguelet regularization), which also uses wavelet decomposition, but now incorporating simultaneously a representation of the operator associated with the problem, based on its decomposition into singular values, SVD. In the last chapter, several applications are presented to inverse problems that are ill-posed in the restoration of signals and images, whose numerical implementations allow a better visualization of the theoretical results obtained in this thesis, and clearly show the potential of the developed methods.