Fórmulas de valor medio en transporte anómalo y aplicaciones

Abstract

En esta tesis abordamos dos problemas naturales del análisis de soluciones de fenómenos de transporte anómalo. El primero es el de existencia de soluciones para un problema de Cauchy asociado a CATC (Caminos Aleatorios a Tiempo Continuo) y la convergencia de soluciones para reescalamientos parabólicos de dicho problema a soluciones del problema de Cauchy asociado a la ecuación del calor. El segundo problema es el de la mejora de regularidad en la escala de espacios de Besov para funciones cuyo laplaciano fraccionario sea igual a cero en un dominio D no regular de Rn. En la primera parte de la tesis exponemos los resultados obtenidos en relación con los límites de reescalamientos parabólicos de CATC. Esto incluye la prueba de existencia para los CATC a través de estrategias de punto fijo, la convergencia débil de reescalamientos parabólicos hacia la ecuación del calor, y la convergencia uniforme de CATC hacia temperaturas. En la segunda parte de la tesis demostramos la mejora de regularidad en la escala de Besov de una función cuyo laplaciano fraccionario es igual a cero en un dominio D no regular de Rn. La herramienta más importante es una fórmula de valor medio no local, promedios en los que influyen los valores de dicha función en todo el espacio. Los resultados más importantes son esa fórmula de valor medio no local, su uso para probar las estimaciones en norma de gradientes, y por consiguiente la mejora de regularidad en la escala de Besov.

In this thesis we address two natural problems of the analysis of solutions of anomalous transport phenomena. The first is the existence of solutions for a Cauchy problem associated with CTRW (Continuous Time Random Ways) and the convergence of solutions for parabolic rescaling of such problem to solutions of the Cauchy problem associated with the heat equation. The second problem is the improvement of regularity in the scale of Besov spaces for functions whose fractional Laplacian is equal to zero in a non-regular D domain of Rn. In the first part of the thesis, we present the results obtained in relation to the limits of parabolic rescaling of CTRW. This includes the existence of the CTRW through fixed point strategies, the weak convergence of parabolic rescaling towards the heat equation, and the uniform convergence of CTRW towards temperatures. In the second part of the thesis we demonstrate the improvement of regularity in the Besov scale for a function whose fractional Laplacian is equal to zero in a non-regular D domain of Rn. The most important tool is a non-local mean value formula, averages in which influence the values of such function in the whole space. The most important results are that formula of non-local mean value, its use to test the estimates in norm of gradients, and therefore the improvement of regularity in the Besov scale.