Regularización de problemas inversos mal condicionados mediante la minimización de funcionales de tipo Tikhonov-Phillips doblemente generalizados

Abstract

En esta tesis se aborda la regularización de problemas inversos mal condicionados desde el enfoque determinístico de su resolución y, en este contexto, se presentan los métodos de Tikhonov-Phillips en sus versiones clásica, generalizada (con término de fidelidad cuadrático y penalizante generalizado) y doblemente generalizada (con término de fidelidad y penalizante generalizados). Se muestra que estos métodos constituyen regularizaciones en espacios de Banach. Para ello, para el caso doblemente generalizado, se prueban la existencia y unicidad de soluciones regularizadas, la existencia de solución de mínimino penalizante y, finalmente, la convergencia de aquellas a esta para el caso en que el parámetro de regularización es elegido mediante una regla a-priori. Cuando la regla del elección del parámetro es heurística, se obtienen estimaciones del error a-posteriori cuando la solución regularizada es obtenida mediante la minimización de funcionales de tipo Tikhonov-Phillips generalizado o doblemente generalizado. Por otra parte, se presenta el enfoque estadístico de resolución de los problemas inversos y su principal vínculo con el enfoque determinístico clásico. Bajo modelo lineal con ruido aditivo, a partir de diferentes ejemplos, se muestra cómo la densidad de la variable aleatoria que representa el error y la densidad a-priori de la variable incógnita se relacionan con el término de fidelidad y el penalizante, respectivamente, de un funcional de tipo Tikhonov-Phillips doblemente generalizado. Más precisamente, se prueba que bajo familias exponenciales, el estimador máximo a-posteriori calculado desde el enfoque estocástico coincide con la solución regularizada obtenida mediante la minimización de un funcional de tipo Tikhonov-Phillips doblemente generalizado.

This thesis addresses the regularization of ill-posed inverse problems from the deterministic approach of its resolution and, in this context, the Tikhonov-Phillips methods are presented in their classic, generalized versions (with quadratic fidelity term and generalized penalization) and doubly generalized (with generalized loyalty and penalty terms). It is shown that these methods constitute regularizations in Banach spaces. More precisely, for the doubly generalized case, the existence and uniqueness of regularized solutions, the existence of a minimum penalty solution and, finally, the convergence of those to this one are proved for the case in which the regularization parameter is chosen by an a-priori rule. When the parameter choice rule is heuristic, estimates of a-posteriori error are obtained when the regularized solution is obtained by minimizing generalized or double-generalized Tikhonov-Phillips functionals. On the other hand, the statistical approach to solving inverse problems and its main link with the classical deterministic approach is presented. Under linear model with additive noise, from different examples, it is shown how the density of the random variable that represents the error and the a-priori density of the unknown variable are related to the term of fidelity and the penalty, respectively, of a double-generalized Tikhonov-Phillips type functional. More precisely, it is proved that under exponential families, the maximum a-posteriori estimator calculated from the stochastic approach coincides with the regularized solution obtained by minimizing a doubly generalized Tikhonov-Phillips functional.