Difusiones no locales y operadores de derivación fraccionaria en espacios métricos de medida

Abstract

La tesis tiene por objeto central el análisis de difusiones no locales en espacios métricos de medida, que incluyen el contexto euclídeo clásico, variedades, fractales, conjuntos discretos y otras estructuras generales. En este trabajo estudiamos difusiones fraccionarias a través del operador laplaciano fraccionario y de generalizaciones del mismo a espacios Ahlfors regulares. Resolvemos en este contexto un problema de dato inicial para una difusión vinculada a un operador de derivación fraccionaria diádico y obtenemos la convergencia puntual al dato inicial cuando éste pertenece a espacios de Lebesgue clásicos. Además, en el contexto diádico estudiamos también problemas de tipo Schrödinger no locales y bajo adecuadas condiciones de regularidad en el dato inicial se prueba la convergencia puntual en el caso abstracto. Posteriormente probamos, mediante técnicas de punto fijo, existencia y unicidad para problemas de evolución no locales de Cauchy definidos a partir de operadores de núcleo integrable en espacios de medida. Por último, construimos una familia adecuada de problemas con operadores de núcleos integrables indexados por un parámetro de reescalamiento, y probamos que las soluciones de dichos problemas convergen a la solución del problema de difusión fraccionaria en espacios Ahlfors compactos.

The main purpose of this thesis is the analysis of nonlocal diffusions in metric measure spaces, which include the classical Euclidean context, varieties, fractals, discrete sets and other general structures. In this work we study fractional diffusions through the fractional Laplacian operator and a generalization to Ahlfors regular spaces. In this context we solve a problem of initial data for a diffusion operator associated to a dyadic fractional derivation and we obtain the pointwise convergence to the initial data when it belongs to classical Lebesgue spaces. Furthermore, in the dyadic context we also study nonlocal Schrödinger type problems and we prove the pointwise convergence under appropriate regularity conditions on the initial data. Then we prove, using fixed point techniques, existence and uniqueness for nonlocal evolution problems defined by operators with integrable kernels in general measure spaces. Finally, we construct a suitable family of problems with operators of integrable kernels indexed by a rescaling parameter and we prove that the solutions of such problems converge to the solution of the fractional diffusion problem in Ahlfors compact spaces.