Continuidad de operadores del Análisis Armónico en espacios de Zygmund generalizados

Abstract

Este trabajo está centrado en estudiar propiedades de continuidad de distintos operadores del Análisis Armónico en el contexto de los espacios de Zygmund de tipo L log L generalizados cuando interviene un par de pesos. Abordaremos este objetivo de dos maneras distintas. Por un lado, asumiendo condiciones de tipo bump en el par de pesos y, por otro, considerando estimaciones de tipo Bloom. Las condiciones de tipo bump en el par de pesos aparecen como las análogas adecuadas a las condiciones de Muckenhoupt que intervienen en estimaciones con un peso. En esta tesis obtenemos condiciones de tipo bump, asociadas a promedios en el contexto de los espacios de Lebesgue de exponente variable, que implican la continuidad de operadores potenciales y de Calderón-Zygmund, y sus respectivos conmutadores, en espacios de Zygmund de tipo L log L generalizados. Por otro lado hemos obtenido estimaciones de tipo Bloom que proveen las clases de pesos y el conjunto de los símbolos correspondientes para que el conmutador de distintos operadores resulte acotado en espacios con exponente variable. En tal sentido, definimos una clase de pesos que extiende al contexto variable la conocida clase de Muckenhoupt y Wheeden, e introducimos nuevos espacios de símbolos con pesos. Una de las principales herramientas que utilizamos en este trabajo se encuadra en la teoría de dominación sparse. Estudiamos las propiedades de continuidad de ciertos operadores sparse en el contexto variable y probamos una versión de la descomposición de Calderón-Zygmund del espacio asociada a promedios definidos en el contexto variable.

The main purpose of this work is study continuity properties for different operators of Harmonic Analysis in the context of generalized Zygmund spaces of L log L, when a pair of weights intervenes. In order to reach this goal we use two different approaches: the first one is related to generalized bump conditions on a pair of weights and, the other approach give Bloom type estimates. The bump type conditions in a pair of weights appear as adequate analogues to the Muckenhoupt conditions involved in estimates with one weight. In this thesis we obtain bump type conditions, associated to averages in the context of variable Lebesgue spaces, which imply the continuity of potential operators and Calderón-Zygmund operators, and their respective commutators, in generalized Zygmund spaces of L log L type. On the other hand, we obtain Bloom type estimates that provide the class of weights and the corresponding class of symbols that guarantee the boundedness of commutators of different operators in spaces with variable exponents. In this sense, we define a class of weights that extends the well-known class of Muckenhoupt and Wheeden to the variable context, and we introduce new symbol spaces with weights. One of the main tools we use in this work are related to the sparse domination theory. We study continuity properties of certain sparse operators in the variable context and probe a version of the Calderón-Zygmund decomposition of the space associated with averages defined in the variable setting.