El operador maximal MΦ generalizado actuando sobre medidas

Abstract

El desarrollo de esta tesis comienza con el estudio de promedios de Luxemburg y operadores maximales generalizados actuando sobre funciones en espacios de tipo homogéneo, así como también diversos resultados asociades con la clase de pesos de Muckenhoupt y su relación con la función maximal de Hardy-Littlewood. A continuación se realiza un estudio análogo, considerando medidas en lugar de funciones, esto es, definir promedios de Luxemburg de una medida, estudiar sus propiedades y definir el operador maximal generalizado correspondiente de manera que extienda la definición del operador maximal clásico para medidas. Luego, se define y demuestra el tipo débil con y sin pesos para este operador, extendiendo a este nuevo contexto resultados ya conocidos. El tipo débil permite probar una desigualdad de tipo Kolmogorov y esta, a su vez, demostrar que ciertas potencias del operador maximal actuando sobre una medida pertenece a la clase A1 de Muckenhoupt, generando así pesos en la clase Ap a través del teorema de factorización de Jones.

This thesis begins with the study of Luxemburg type avergages and generalised maximal operators defined on functions in homogeneous type spaces, as well as different results linked to Muckenhoupt weights and how they relate to the Hardy-Littlewood maximal operator. We then focus on extending this to a new context, defining Luxemburg type averages on measures, studying their properties and giving a definition for the generalised maximal operator acting on measures. Next, we give conditions for such an operator to be of weak type, prove that the operator we have defined satisfies these conditions, and that it therefore satisfies a Kolmogorov type inequality. This allows us to prove that certain powers of the generalised maximal operator are weights in Muckenhoupt’s A1 class and that we can generate weights in Muckenhoupts Ap class by using Jones Factorisation Theorem.