Espacios Lipschitz generalizados y operadores invariantes por traslaciones

Abstract

We extend to context of the Generalized Lipschitz spaces and to context of the Orlicz spaces, the result of Stein and Zygmund about the Lp boundedness of translation invariant operators between Lipschitz spaces. They proved that if T maps the space Lipschitz alpha to the space Lipschitz beta , with beta greater than alpha, then T maps Lp to Lq , where 1 over q is equal to 1 over p minus beta minus alpha divided by n, and less than p and p less than infinity. Actually the main point in the proof of Stein-Zygmund theorem is that any translation invariant operator between Lipschitz spaces is a convolution operator with integrable kernel, satisfying a smoothness condition of the type L1 modulus of continuity controlled by a power exponent beta minus alpha. This can be achieved using the harmonic extension of kernel. In this thesis we show that if the Lipschitz spaces are substituted by generalized Lipschitz spaces where the smoothness condition is weakened to include continuity moduli more general than powers given by growth functions, and if T is a translation invariant operator that it maps one generalized Lipschitz space in other, then T also maps one Orlicz space in other for appropriate Young functions related with the growth functions.

Extendemos al contexto de los espacios Lipschitz generalizados y al contexto de los espacios de Orlicz., el re-sultado de Stein y Zygmund sobre la acotación en Lp de operadores invariantes por traslaciones entre espa-cios de Lipschitz. Probaron que si T es un operador que mapea un espacio Lipschitz alfa en otro espacio Lipschitz beta con beta mayor que alfa., entonces también mapea Lp en Lq con 1 sobre q igual a 1 sobre p menos beta menos alfa dividido n, con p mayor que 1 y menor que infinito. El principal punto en la prueba del teorema de Stein-Zygmund es que cualquier operador invariante por traslaciones entre espacios de Lipschitz es un operador de convolución con núcleo integrable, que satisface una condición suavidad del tipo módulo de continuidad en L1 controlada por una potencia de exponente beta menos alfa. Este resultado se logra usando la extensión armónica del núcleo. En esta tesis mostramos que si los espacios Lipschitz son sustituídos por espacios Lipschitz generalizados donde la condición de suavidad se debilita para incluir mó-dulos de continuidad más generales que las potencias, dados por funciones de crecimiento, y si T es un ope-rador invariante por traslaciones que mapea un espacio Lipschitz generalizado en otro, entonces T también mapea un espacio de Orlicz en otro, para apropiadas funciones de Young relacionadas con las funciones de crecimiento.