Funciones de Sobolev y Besov en espacios métricos

Abstract

En el contexto abstracto de espacios métricos con medida varios autores han considerado espacios de funciones de regularidad tipo Lipschitz o Besov con orden de suavidad alfa menor a uno. Para el extremo alfa igual a uno, otros autores ya han introducido diferentes espacios de tipo Sobolev donde se define alguna noción de gradiente. En este trabajo definimos espacios de Sobolev de orden fraccionario a través de un potencial que generaliza al de Bessel en el caso euclídeo. De forma análoga a su versión clásica, vemos que estos espacios aquí definidos cumplen, por ejemplo, teoremas de inmersión de Sobolev. Para valores pequeños de alfa probamos que los espacios potenciales pueden caracterizarse mediante operadores de derivación fraccionaria apropiados, resultado que también generaliza al caso de Rn. Demostramos además que los espacios que resultan de la interpolación entre estos espacios potenciales son los ya conocidos espacios de Besov. Esta caracterización de los espacios de Besov nos permite demostrar un teorema de trazas para este tipo de funciones: la restricción de una función con regularidad Besov a un subespacio cerrado de menor dimensión es de hecho una función de la misma clase aunque con menor grado de regularidad. Recíprocamente definimos un operador de extensión que resulta acotado entre los correspondientes espacios de Besov. En el caso del extremo de regularidad alfa igual uno se introducen espacios de tipo Newton-Sobolev donde se reemplaza la noción de longitud de curva por otras medidas como por ejemplo la medida de Hausdorff s-dimensional.

In the abstract setting of metric measure spaces, several authors have considered function spaces of Lipschitz or Besov regularity of order alpha less than one. For the extremal case alpha equal to one, other authors have introduced different Sobolev-type spaces where some notion of gradient is defined. In this work we define Sobolev spaces of fractional order by means of a potential that generalizes the Bessel potential for the Euclidean case. In a way analogous to its classical version, we see these spaces here defined satisfy, for instance, Sobolev embedding theorems. For small values of alpha we prove potential spaces can be characterized by suitable fractional derivative operators, a result that also generalizes the one in Rn. We also show that spaces resulting from interpolation between these potential spaces are the already known Besov spaces. This characterization of Besov spaces allows us to prove a trace theorem for this kind of functions: the restriction of a function with certain Besov regularity to a closed subspace of lower dimension is in fact another function of the same class but with less regularity. Reciprocally, we define an extension operator, bounded from the corresponding Besov space to the other. For the case of regularity alpha equal to one, we introduce Newton-Sobolev-type spaces, where we replace the notion of arc-length by other measures, as Hausdorff s-dimensional measure.