Estudio de códigos algebraico-geométricos cíclicos

Abstract

La presente tesis se enmarca dentro de la teoría de códigos, más precisamente estudiamos códigos algebraico-geométricos cíclicos y logramos avances originales significativos para comprender propiedades estructurales de estos códigos, especialmente dentro de los códigos algebraico-geométricos racionales. Primero nos centramos en entender la estructura de los códigos algebraico-geométricos cíclicos en el contexto de cuerpos de funciones algebraicas sobre cuerpos finitos, y luego tuvimos la necesidad de encontrar un método para construir tales códigos. En el caso general, pudimos hacerlo mediante el uso del grupo de automorfismos. Para ello, diseñamos un método, al cual llamamos método sigma, que nos permite construir tales códigos, y desarrollamos ejemplos de aplicación del método. Denominamos como códigos sigma-cíclicos a los códigos obtenidos con el método sigma. Después de dar respuesta al problema de construcción de códigos algebraico-geométricos cíclicos, nos enfocamos en estudiar la equivalencia monomial en el caso de códigos sigma-cíclicos racionales.

This thesis is framed within coding theory, more precisely we study cyclic algebraic-geometry codes and we achieve significant original advances in understanding structural properties of these codes, especially within the rational algebraic-geometry codes. We first focus on understand the structure of cyclic algebraic-geometry codes in the context of function fields over finite fields, and then we had the need to find a method to build such codes. In the general case, we were able to do by using the group of automorphisms. For it, we designed a method, which we call the sigma method, that allows to build such codes, and we develop examples of application of the method. We call the codes obtained with the sigma method as sigma-cyclic codes. After giving an answer to the problem of construction of cyclic algebraic-geometric codes, we focus on studying the monomial equivalence in the case of rational sigma-cyclic codes.