Análisis armónico asociado a problemas espectrales para operadores de tipo diferenciación fraccionaria en espacios métricos con medida

Abstract

En esta tesis abordamos el estudio del análisis espectral del laplaciano fraccionario definido sobre espacios de tipo homogéneo. En primer lugar estudiamos en detalle las propiedades de cierta clase de espacios de Sobolev, los cuales nos permiten entender cómo interactúan los operadores de extensión y las inmersiones compactas entre los mismos y sobre qué clase de dominios específicos es posible definirlos. En segundo lugar utilizamos la compacidad de dichas inmersiones para obtener el espectro del laplaciano fraccionario sobre espacios de Ahlfors. En tercer lugar nos focalizamos en estudiar un contexto diádico particular, el cual nos permite entender cómo se interrelaciona la geometría del espacio con el análisis espectral del laplaciano fraccionario. De esto derivamos, por una parte, un análisis cuantitativo que descifra, si no determina, el comportamiento asintótico del espectro; y por otra parte, un análisis cualitativo que propicia la introducción de una nueva noción de derivación parcial fraccionaria en estos contextos, la cual, a su vez, permite caracterizar los espacios de Sobolev a través de la teoría de integrales singulares a valores vectoriales en espacios abstractos, tema que ocupa la última parte de este trabajo.

In this thesis we address the study of the spectral analysis of the fractional Laplacian defined on spaces of homogeneous type. First of all, we study in detail the properties of a certain class of Sobolev spaces, which allow us to understand how the extension operators and compact immersions interact between them and on what class of specific domains it is possible to define them. Secondly, we use the compactness of these immersions to obtain the spectrum of the fractional Laplacian over Ahlfors spaces. Thirdly, we focus on studying a particular dyadic context, which allows us to understand how the geometry of space is interrelated with the spectral analysis of the fractional Laplacian. From this we derive, on the one hand, a quantitative analysis that deciphers, if not determines, the asymptotic behavior of the spectrum; and on the other hand, a qualitative analysis that promotes the introduction of a new notion of fractional partial derivation in these contexts, which, in turn, allows characterizing Sobolev spaces through the theory of singular integrals to vector values in spaces. abstract, subject that occupies the last part of this work