Pesos locales. Propiedades y aplicaciones

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio de pesos de Muckenhoupt locales, caracterizaciones de los mismos, acotaciones de operadores locales en espacios tipo BMO asociados a estos pesos y su aplicación para obtener estimaciones a priori de operadores diferenciales elípticos. En el capítulo 2, dado un espacio métrico general, probamos caracterizaciones de una versión local de pesos que están en la unión de todas las clases de Muckenhoupt Ap, con p no menor a 1. Nos referimos con pesos locales a los pesos que verifican una condición tipo Ap de Muckenhoupt pero solo sobre bolas locales, esto es, bolas contenidas en un abierto del espacio y cuyo radio está acotado por una fracción de la distancia del centro de la bola al borde de tal abierto. Asimismo, estudiamos como caracterizar nuestros pesos mediante desigualdades que involucran versiones locales de operadores clásicos del Análisis Armónico tales como la función maximal local y las transformadas de Riesz locales. Además, logramos probar que pidiendo una condición adicional a las clases consideradas se caracteriza a los pesos w para los cuales se tiene la acotación de integrales singulares locales desde el espacio de funciones f tales que f/w es esencialmente acotada, a un espacio de tipo BMO relacionado al peso w y que toma las estimaciones correspondientes solo sobre las bolas locales. En el capítulo 3, consideramos, en el contexto euclídeo usual, operadores diferenciales elípticos de segundo orden definidos sobre un abierto acotado y estudiamos estimaciones a priori interiores en normas del espacio BMO local asociado a un peso que es A1 local. Con este fin en mente, obtenemos acotaciones, sobre los espacios mencionados, para ciertas integrales singulares locales y sus conmutadores, como así también para las correspondientes versiones con núcleo variable de estos operadores.

This thesis is dedicated to the study of local Muckenhoupt weights, their characterizations, boundedness of local operators in BMO-type spaces associated with these weights and their application to obtain a priori estimates of elliptic differential operators. In chapter 2, given a general metric space, we prove characterizations of a local version of weights that are in the union of all Muckenhoupt classes Ap, with p not less than 1. We refer by local weights to the weights that verify a Muckenhoupt's Ap-type condition but only on local balls, that is, balls contained in an open set and whose radius is bounded by a fraction of the distance from the center of the ball at the edge of such open. Likewise, we study how to characterize our weights through inequalities that involve local versions of classical Harmonic Analysis operators such as the local maximal function and local Riesz transforms. Furthermore, we were able to prove that by asking an additional condition to the classes considered, we characterize the weights w for which we have the boundedness of local singular integrals from the space of functions f such that f/w is essentially bounded to a space of type BMO related to the weight w and that takes the corresponding estimates only on the local balls. In chapter 3, we consider, in the usual Euclidean context, second-order elliptic differential operators defined on a bounded open and study a priori interior estimates in norms of the local BMO space associated with a weight that is local A1. With this end in mind, we obtain bounds, on the aforementioned spaces, for certain local singular integrals and their commutators, as well as for the corresponding variable-kernel versions of these operators.