Regularización de problemas inversos mal condicionados, calificación generalizada y saturación global

Abstract

This Thesis includes the study of regularization methods for inverse ill-posed problems from a general point of view, using the spectral theory for linear operators in Hilbert spaces. A result of Thomas Seidman about the nonconvergence of least-squares method to the case of divergence of arbitrary speed was extended. The definition of qualification for spectral regularization methods introduced by Peter Mathé and Sergei Pereverzev in 2003 was also extended. Three levels of qualification were introduced: weak, strong and optimal. Necessary and sufficient conditions for a given order of convergence to be strong or optimal qualification were provided. Implications of this theory in the context of orders of convergence, converse results and maximal source sets for inverse ill-posed problems also were shown. A general theory of global saturation for arbitrary regularization methods was developed. Necessary and sufficient conditions for a method to have global saturation were provided and it was shown that in such methods the total error must be optimal in two precise ways. Converse results have been proved and the theory was applied to characterize saturation for spectral methods with classical and maximal qualification. The approximate inverse method was also used to develop regularization methods for solving inverse problems originated in concrete applications. Finally applications to inverse problems in heat conduction and image processing and numerical results allowing better visualization of the obtained theoretical results were presented.

Esta Tesis abarca el estudio de métodos de regularización para problemas inversos mal condicionados desde un punto de vista general, utilizando la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert. Se extendió un resultado de Thomas Seidman sobre la no convergencia del método de mínimos cuadrados al caso de divergencia con velocidad arbitraria. Por otra parte, se extendió la definición de calificación introducida por Peter Mathé y Sergei Pereverzev en el año 2003. Se introdujeron tres niveles de calificación: débil, fuerte y óptimo. Se probaron condiciones necesarias y suficientes para que un orden de convergencia dado sea calificación fuerte u óptima. Se probaron implicaciones de esta teoría en el contexto de órdenes de convergencia, resultados recíprocos y conjuntos fuente maximales. Además se desarrolló una teoría general de saturación global para métodos de regularización arbitrarios. Se hallaron condiciones necesarias y suficientes para que un método posea saturación y se probó que en tales métodos el error total debe ser doblemente optimal. Se han probado resultados recíprocos y se aplicó la teoría desarrollada para caracterizar la saturación de los métodos espectrales con calificación clásica y con calificación máxima. También se utilizó el método de la inversa aproximada para desarrollar métodos de regularización que permiten resolver problemas inversos originados en aplicaciones concretas. Finalmente, se presentaron aplicaciones a problemas inversos en conducción de calor y procesamiento de imágenes y resultados numéricos que permiten una mejor visualización de los resultados teóricos obtenidos.