Desigualdades mixtas para operadores del Análisis Armónico y aplicaciones

Abstract

En las últimas dos décadas hubo un resurgimiento del estudio de las desigualdades débiles mixtas (DDM) para distintos operadores del Análisis Armónico, las cuales generalizan algunas estimaciones clásicas conocidas que están íntimamente relacionadas con el análisis de las soluciones de ciertas Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). Una motivación que impulsa el estudio de las DDM es la búsqueda de una prueba alternativa de la acotación fuerte del operador maximal de Hardy-Littlewood en espacios de Lebesgue con pesos en la clase Ap de Muckenhoupt. El proyecto propone continuar varias líneas de investigación de las DDM en distintos contextos y para operadores que no han sido inspeccionados aún. Estas líneas comprenden principalmente el estudio del comportamiento de operadores fuertemente singulares y sus conmutadores, así como también el análisis de problemas que involucran un par de pesos (u,w) para diversos operadores del Análisis Armónico y que extiendan resultados previos de la literatura cuando se considera u=w. Otro objetivo se centrará, además, en estudiar DDM para operadores asociados a una función de radio crítico. En las últimas décadas se han derivado importantes aplicaciones para este tipo de operadores en el ámbito de las EDP, como los asociados al semigrupo de Schrödinger. En este sentido, se espera contribuir con resultados novedosos relacionados a las DDM

On the last two decades there was a resurgement of the study of mixed weak inequalities (MWI) for different operators in Harmonic Analysis, which generalize some classical and known estimates strongly related with the analysis of solutions of certain Partial Differential Equations (PDE). A motivation that impulses the study of the MWI is the search of an alternative proof of the strong type inequality for the Hardy-Littlewood máximal operator between Lebesgue spaces with weights on the Ap Muckenhoupt class. This Project poses to continue several research lines related to MWI on different settings and for operators that have not been inspected yet. These lines mainly include the study of the behaviour of strongly singular integral operators and their commutators, as well as the analysis of problems that involve a pair of weights (u,w) and that extend previous results on the literatura when we consider u=w. Another objective will also be the study of MWI for operators associated to a critical radious function, which involves, for example, Schrödinger operators.