Pesos de crecimiento exponencial asociados a un operador de Schrödinger

Abstract

Consideremos para d≥3, en el espacio euclídeo d-dimensional, un operador de Schrödinger 𝐿=−Δ+𝑉, donde el potencial 𝑉 es una función no-negativa, no idénticamente cero y que satisface, para 𝑞>d/2 una condición de Hölder inversa de orden 𝑞. En un trabajo reciente (J. Funct. Anal. 281, 1, Paper No. 108996, 93a, 2021), J. Bailey propone un nuevo enfoque para encontrar clases de pesos adecuadas para los operadores asociados a 𝐿 que resulten más grandes que las descritas por Bongioanni, Harboure y Sali-nas en su trabajo de 2010 (J. Math. Anal. Appl, 373 (2), 2010). Mediante la introducción de una nueva topología inducida por el potencial logran probar estimaciones para la solución fundamental de 𝐿 con decaimiento exponencial lejos de la diagonal. Luego, aprovechando estas nuevas estimaciones, se define una clase de pesos que permite un crecimiento exponencial y se prueban acotaciones en espacios de Le-besgue pesados para las transformadas de Riesz asociadas a L. Además, aún cuando la métrica usada tanto en las estimaciones de la solución fundamental como en los pesos no es la euclídea, consiguen comparar esta nueva clase de pesos con la definida por Bongioanni, Harboure y Salinas en 2010, pro-bando que es efectivamente más grande. El objetivo general de este proyecto es realizar un estudio de esta nueva clase de pesos intentando recuperar algunos resultados clásicos de la teoría de pesos adapta-dos a este contexto. En particular, se pretende estudiar familias de operadores integrales singulares y fraccionarios y sus conmutadores, como así también operadores no lineales en espacios pesados de tipo Lebesgue, BMO, Lipschitz y Hardy. Además, se analizarán otro tipo de desigualdades pesadas como ser desigualdades de tipo Coifman, Fefferman-Stein y de tipo Sawyer.

For d≥3, in the d-dimensional Euclidean space, consider a Schrödinger operator L=−Δ+V, where the potential V is a non-negative function, not identically zero, and satisfies, for q>d/2, a reverse Hölder condition of order q. In a recent work (J. Funct. Anal. 281, 1, Paper No. 108996, 93a, 2021), J. Bailey proposes a new approach to find suitable weight classes for the operators associated with L that are larger than those described by Bongioanni, Harboure, and Salinas in their 2010 work (J. Math. Anal. Appl, 373 (2), 2010). By introducing a new topology induced by the potential V, they manage to prove estimates for the fundamental solution of L with exponential decay away from the diagonal. Then, leveraging these new estimates, a class of weights allowing exponential growth is defined, and boundedness in weighted Lebesgue spaces for the Riesz transforms associated with L is proven. Moreover, even though the metric used in both the fundamental solution estimates and the weights is not the Euclidean one, they succeed in comparing this new weight class with the one defined by Bongioanni, Harboure, and Salinas in 2010, proving that it is indeed larger. The general objective of this project is to conduct a study of this new weight class, attempting to recover some classical results of the theory of weights adapted to this context. In particular, it aims to study families of singular and fractional integral operators and their commutators, as well as nonlinear operators in weighted Lebesgue, BMO, Lipschitz, and Hardy spaces. Additionally, other types of weighted inequalities such as Coifman-type, Fefferman-Stein, and Sawyer-type inequalities will be analyzed.