Métodos matemáticos para problemas inversos y aplicaciones

Abstract

El proyecto propone por un lado el estudio de varios problemas matemáticos predominantemente teóricos en el área de problemas inversos mal condicionados. Por otro lado se propone la utilización de estos métodos en algunos problemas concretos en el área de diseño de materiales térmicos. Dentro de este contexto, los objetivos específicos principales de este proyecto son: * El estudio de problemas de existencia, unicidad, convergencia y estabilidad de minimizantes globales de funcionales de regularización generales de tipo Tikhonov-Phillips con penalizantes no suaves y el diseño de funcionales ``ad-hoc'' para el caso de regularidad anisotrópica y/o heterogénea y sus aplicaciones a procesamiento de señales, restauración de imágenes y problemas de detección de bordes. • Estudio de problemas de convergencia y estabilidad del método de regularización de TikhonovPhillips doblememente generalizado para el caso en que el parámetro de regularización sea elegido mediante una regla a-posteriori. • Análisis del vínculo entre la elección de las funciones asociadas a las familias exponenciales y la regularización mediante un funcional de Tikhonov-Phillips doblemente generalizado con penalizante múltiple. • Generalización de los resultados obtenidos sobre estimaciones del error a-posteriori al caso de regularización mediante funcionales de tipo Tikhonov-Phillips doblemente generalizados con penalizante múltiple. • Utilización de métodos de regularización para la resolución de los problemas inversos no lineales que se originan en el diseño de materiales térmicos. • Estudio de las funciones objetivo del problema de optimización resultante del modelo asociado al diseño de materiales térmicos, como así también de los penalizantes que permitan generar herramientas matemáticas para la determinación del perfil de conductividades a partir del campo de temperaturas. • Utilización de datos de datos provenientes de experimentos reales y/o cámaras termográficas que permitan probar los resultados obtenidos con datos reales para abordar de manera concreta el problema de diseño y generar demostradores o prototipos.

The project proposes, on the one hand, the study of several predominantly theoretical mathematical problems in the area of poorly conditioned inverse problems. On the other hand, the use of these methods is proposed in some specific problems in the area of thermal materials design. Within this context, the main specific objectives of this project are: * The study of problems of existence, uniqueness, convergence and stability of global minimizers of general regularization functionals of the Tikhonov-Phillips type with non-smooth penalties and the design of ``ad-hoc'' functionals for the case of anisotropic regularity and/or or heterogeneous and its applications to signal processing, image restoration and edge detection problems. • Study of convergence and stability problems of the doubly generalized Tikhonov-Phillips regularization method for the case in which the regularization parameter is chosen by means of an a-posteriori rule. • Analysis of the link between the choice of functions associated with exponential families and regularization using a doubly generalized Tikhonov-Phillips functional with multiple penalties. • Generalization of the results obtained on estimates of the aposteriori error to the case of regularization using doubly generalized Tikhonov-Phillips type functionals with multiple penalties. • Use of regularization methods to solve nonlinear inverse problems that originate in the design of thermal materials. • Study of the objective functions of the optimization problem resulting from the model associated with the design of thermal materials, as well as the penalties that allow generating mathematical tools for determining the conductivity profile from the temperature field. • Use of data from real experiments and/or thermal imaging cameras that allow testing the results obtained with real data to concretely address the design problem and generate demonstrators or prototypes.