Modelos lineales generalizados: regresión de rango reducido y reducción suficiente de dimensiones

Abstract

La respuesta a muchos de los problemas de interés en ciencias experimentales requieren el estudio de una o varias variables Y (respuesta/s) en función de otras variables X (predictores). Desde el punto de vista de la estadística, esto significa estudiar la distribución condicional de un vector Y r-dimensional, dado el vector X p-dimensional. Cuando el número de predictores p es grande, casi todos los métodos usados para estudiar esta relación incluye algún tipo de reducción en la dimensión de X. Los métodos estadísticos más recientes son aquellos establecidos bajo el paradigma de reducción suficiente de dimensiones. Su premisa es la obtención de una reducción de los predictores R(X) d-dimensional con d menor que p, sin que ésta pierda información acerca de la respuesta en el sentido que Y dado X tiene la misma distribución que Y dado R(X). En esta tesis trabajamos bajo el enfoque basado en la suposición de un modelo parámetrico para la regresión inversa X dado Y. El atractivo de este enfoque es que cuando la respuesta es univariada, X dado Y consta de p regresiones univariadas las cuales son sencillas de modelar, contrariamente a lo que ocurre cuando se modela Y dado X. El objetivo de esta tesis es desarrollar una metodología de reducción suficiente de dimensiones asumiendo que la distribución de X dado Y pertenece a una familia exponencial a k parámetros naturales . Para este modelo identificamos la reducción suficiente minimal, obtenemos estimadores de máxima verosimilitud para dicha reducción y estudiamos sus distribuciones asintóticas. Además, mostramos ejemplos y simulaciones para ilustrar las conexiones, diferencias y ventajas de nuestro método con los ya existentes. Para poder desarrollar este trabajo es necesario, en primer lugar, estudiar en detalle los modelos lineales generalizados multivariados de rango reducido.

The answer to many problems of interest in experimental sciences require the study of one or more variables Y (response/s) depending on other variables X (predictors). From the point of view of statistics, this means study the conditional distribution of a vector Y r-dimensional given the vector X p-dimensional. When the number of predictors p is large, almost all methods used to study this relationship includes some kind of reduction in the dimension of X. The most recent statistical methods are those established under the paradigm of sufficient dimension reduction. Its premise is to obtain a reduction in the predictors, R(X), d-dimensional with d less than p, without loss of information about the response in the sense that Y given X has the same distribution as Y given R (X). In this thesis we work under the approach based on the assumption of a parametric model for the inverse regression X given Y. The appeal of this approach is that when the answer is univariate, X given Y consists of p univariate regressions which are simple to model contrary to what happens when modeling Y given X. The aim of this thesis is to develop a methodology of sufficient dimension reduction assuming that the distribution of X given Y belongs to an exponential family with k natural parameters. For this model we identify sufficient minimal reduction, we obtain maximum likelihood estimators for the reduction and we study their asymptotic distributions. Moreover, we show examples and simulations to illustrate the connections, differences and advantages of our method with existing ones. To develop this work is necessary, first, to study in detail multivariate generalized linear models of rank reduced.