Refinamiento adaptativo en espacios de splines jerárquicos

Abstract

Esta tesis se centra en el análisis de las propiedades de aproximación local en espacios de splines jerárquicos. El estudio se aborda desde una doble perspectiva. Por un lado, se enfoca en el diseño, análisis e implementación de un algoritmo de refinamiento adaptativo robusto para estos espacios, cuyo objetivo es enriquecer el espacio funcional mediante la construcción de mallas localmente graduadas donde se requiera un mayor poder de aproximación. Por otro lado, se realiza un análisis matemático riguroso de las propiedades de estabilidad y aproximación que se obtienen a partir de la construcción de operadores de quasi-interpolación. Estos operadores resultan una herramienta indispensable no sólo para avanzar en la teoría, sino también a nivel práctico, debido a que construcciones explícitas y claras permiten una implementación computacionalmente eficiente y económica. La contribución principal de esta investigación reside en el tratamiento de mallas jerárquicas que denominamos débilmente admisibles, en contraste con el concepto de mallas admisibles utilizado en trabajos previos, el cual restringe el número de niveles para las funciones de base jerárquica que no se anulan en un elemento. En nuestro enfoque, los conjuntos de celdas que definen la representación del espacio de polinomios producto tensor completo en cada nivel están estrictamente anidados, reflejando la propia estructura de la jerarquía. Los resultados obtenidos demuestran que esta estrategia alternativa no solo posee una construcción matemáticamente elegante e intuitiva, sino que en diversos casos de estudio supera en conveniencia a las estrategias de refinamiento adaptativo existentes.

This thesis focuses on the analysis of local approximation properties in hierarchical spline spaces. The study is approached from a dual perspective. On the one hand, it addresses the design, analysis, and implementation of a robust adaptive refinement algorithm for these spaces, aimed at enriching the functional space through the construction of locally graded meshes wherever greater approximation power is required. On the other hand, a rigorous mathematical analysis is carried out on the stability and approximation properties obtained through the construction of quasi-interpolation operators. These operators constitute an indispensable tool not only for theoretical developments but also from a practical viewpoint, since explicit and clear constructions allow for computationally efficient and inexpensive implementations.

The main contribution of this research lies in the treatment of hierarchical meshes that we call weakly admissible, in contrast to the concept of admissible meshes used in previous works, where the number of hierarchical basis function levels that do not vanish on a given element is restricted. In our approach, the sets of cells defining the representation of the full tensor-product polynomial space at each level are strictly nested, reflecting the hierarchical structure itself. The obtained results demonstrate that this alternative strategy not only provides a mathematically elegant and intuitive construction, but also, in several case studies, proves to be more convenient than existing adaptive refinement strategies.